벡터 사이의 거리, 각도 계산

[이론 스터디] 벡터와 행렬 기본 개념 :: DATA 분석 & 엔지니어링 스터디 기록 공간 (tistory.com)

[이론 스터디] 벡터와 행렬 기본 개념

백터 기본 개념은 위 포스트를 참고

 

Norm

• 원점에서부터의 벡터의 거리 
• L1, L2 두가지 방식으로 계산 가능
• norm의 종류에 따라 기하학적 성질이 달라진다. (L1과 L2에 따라 거리의 정의가 다르기 때문)

L1 (맨하탄 거리):

• 벡터의 각 성분의 변화량의 절대값(absolute value)를 모두 더하여 거리 계산
• 예를 들어 a = [2,3]인 2차원 벡터가 있다고 가정한다면, 빨간 선이 a의 norm이다.

• ((2,3)에 위치한 벡터의 원점에서부터 맨하탄 거리는 5가 될 것이다.

  

L2 (유클리드 거리):

• 벡터의 각 성분의 변화량의 제곱의 합에 루트를 씌워 계산한다.
• 똑같이  a = [2,3]인 2차원 벡터가 있다고 가정한다면, 빨간 선이 a의 norm이다.

• 피타고라스 정리를 사용하여 유클리드 거리를 계산할 수 있으며, ((2,3)에 위치한 벡터의 원점에서부터 유클리드 거리는 루트 13이 될 것이다.

두 벡터 사이의 거리

• L1, L2 norm으로 계산 가능
• 벡터의 뺄셈을 이용
• 그림에서처럼 2차원 공간에서는 보라색 선이 두 백터 사이의 거리가 된다.

두 백터 사이의 각도

• L2 norm으로만 계산 가능
• 제 2 코사인 법칙을 이용

• 두 벡터의 내적을 두 벡터의 L2 곱으로 나누어 thea의 코사인 값을 계산한다.
• 코사인의 역함수(아크코사인)을 계산하면 두 벡터 사이의 각도인 theta를 구할 수 있다.

정사영(orthogonal projection)

• 수직으로 빛을 비추어 투영되는 부분을 뜻한다.

• 벡터 a의 길이( |a| )에 theta의 코사인 값(cos theta)을 곱하면 a의 정사영된 길이(Proj(a))를 계산할 수 있다. 
• 벡터 b의 길이만큼 a의 정사영 길이를 조정한 값이 내적이다. (스칼라 곱 <- 벡터 길이 조정)
• 두 벡터의 유사도를 측정하는 데에 사용이 가능하다.